中学2年向け数学チャレンジ問題 §3 1次関数

中2数学のチャレンジ問題
1次関数とは1次関数とグラフ1次関数と方程式チャレンジ問題

 

1次関数って何だろう?

1次関数は比例の延長上にある関数です。ともなって変わる2つの変数\(xとy\)があって\(y\)が\(x\)に比例するとき比例定数aを使って \(y=ax\) と書けるのが比例でしたね。1次関数はそれに定数項が加わって \(y=ax+b\) と書ける場合をいいます。え?! なんだか良く分かんない。そうですね。その意味をこれから説明します。

 

1次関数ってなんだろう?

その前にこれまでに比例の勉強でならった3つの言葉をのことを思い出してください。

比例 ある数量があってその数量が2倍になるとそれに伴ってかわる別の数量が2倍になるという関係です。例えば、お風呂に水を入れるとき水を5分入れた時と10分入れた時では水の量が2倍になることを比例という。

比例定数 例えば、お風呂に水を入れるとき水を1分間入れて水が50L溜まれば\(y=50x\)になる。また蛇口を絞って1分間に25L溜まれば \(y=25x\) になる。このときの50や25を比例定数という。

変域 お風呂に水を入れるときの例で説明すると、700Lのバスタブなら1分間に50Lの水を入れるならば \(y=50x\) の関係で水が溜まるのは0分から15分の間だけである。15分を過ぎれば水はバスタブからこぼれてしまう。変量yがxと比例の関係にあるのはxは0分から15分まで。これを変数の変域といいます。式で書くと比例関係が成り立つのは \(0≦x≦14\) そしてyの変域は \(0≦y≦700\) です。

 

1次関数というのは、比例式に定数項が加わった関数なんだ。それはどいう意味なのかといえば・・・・

 

わしが風呂に水を半分入れておいたんだが、比例関係でいいのだろうか?

 

 比例式に定数項が加わった関数を1次関数といいます。

1次関数・・・おじいさんが700Lのバスタブに水を半分の350L入れた場合、そのあとに毎分50Lの水を入れるとします。バスタブにたまる水の量yと入れた時間xの関係は次のような式になります。

$$y=50x+350$$

この場合は変数xの変域が変わります。700Lの水がたまるのは7分後ですから

\(0≦x≦7\) そしてyの変域は \(350≦y≦700\) です。

 

1次関数は比例式に似ているね。式で書くと \(y=ax+b\) と書けます。比例との違いは \(b\) の項があることですね。バスタブに水の例ではおじいさんが既に入れてしまった水350Lが \(b\) の物理的な意味になります。もう分かったと思いますが、これは初期値ですね。

 

先生。わしらが中学生の頃は \(b\) のことを切片とか言っていたような気がするが・・・

 

おじいさん。そのとおりです。\(b\) のことを数学では切片(せっぺん)と呼びます。初期値という呼び名は物理的な意味合いなので数学では普通は使いません。切片という呼び方は1次関数をグラフで表すことで分かります。

 

なんだかまたややこしくなってきおった。つまり切片でいいというわけか。では \(a\) は比例定数でいいんですか?

 

実は1次関数の \(a\) は比例定数とは呼びません。1次関数は比例式に定数項が付いた式ですが、0以外の定数項が加わると  \(y=ax+b\) の\(xとy\) はもはや比例の関係ではないのです。なので1次関数では  \(a\) のことを傾きと呼んでいます。

 

え! 一年生の比例では\(a\) は比例定数でよかったが、こんどは傾きなんですか。先生!?

1次関数 \(y=ax+b\)において、 \(a\) を傾き、 \(b\) を切片と呼びます。

なぜそうなるのかは。1次関数をグラフで書いてみると分かります。次が1次関数のグラフになります。

 

傾きのグラフ上の意味

左のグラフは一次関数 \(y=2x と y=2x+3\) をグラフで描いたものです。1次関数はグラフは直線になります。変数 \(x\) の係数の2はこの2つのグラフの傾きを表しています。傾きというのはグラフ上で \(x\) の値が1だけ増加したときに\(y\)の変化する値をいいます。この場合、\(x\)が1増加すると\(y\)は+2変わりますから傾きは+2です。2つの1次関数 \(y=2x と y=2x+3\) は傾きが同じですからグラフ上では並行の位置関係になります。グラフでの直線の傾きが傾きなんです。

切片のグラフ上の意味

次に切片ですがこれはグラフ上の直線が\(y\) 軸と交わる点の値になります。 \(y=2x\) は \(y=2x+0\) と書けますからグラフは \(y\)軸を0で交わります。 \(y=2x+3\) は\(y\)軸と3で交わります。\(y\)軸を切るときの値ですから \(y\)切片もしくは切片と呼ばれています。

 

先生 y=2x は比例式なんだけども1次関数なんですか?

はい、その通りです。比例式は y=ax+0 と書けますから1次関数ですよ。

 

う~ん。一次関数は比例でないというし。でも比例は1次関数というし。
どっちなんじゃろう?
先生、わしはお茶を飲んで、休憩して、ゆっくり考えますわ。

はい、そうしてください。

 

問題1 次の中から1次関数であるものを選んで1次関数なら〇、そうでないなら×をつけなさい。

(1)ある町から20Km離れたインターから高速道路に乗り時速80Kmでx時間一定の速度で走った。ある町から走った距離ykmと時間xの関係。

(2)長方形の縦の長さがxcm横の長さがycmで面積が一定の場合のxとyの関係。

(3)長方形の縦の長さがxcm横の長さがycmで周の長さが一定の場合のxとyの関係。

(5)変数\(xとy\)がある。 \(y=3x-\frac{4}{3}\) と書ける二つの変数 \(xとy\) の関係。

(6) 変数\(xとy\)がある。 \(y=\frac{4}{x}+2\) と書ける二つの変数\(xとy\) の関係。

 

それでは問題1の回答を言います。下の解答表示をクリックすると回答が表示されます。
もう再度クリックするとまた見えなくなります。答えを伏せて勉強するときに使ってください。

 


(1)〇  (2)×  (3)〇 (4)〇 (5)×

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1次関数とグラフ

1次関数は二つの変数 \(x,y\) の間の関係が \(\displaystyle y=ax+b\) と書ける場合を言います。\(a\) は傾き,\(b\)は切片ですね。1次関数はグラフに書いてみましょう。1次関数はグラフに書くと直線になります。逆に言うと直線でなければ1次関数ではありません。

 

先生、\(傾きaと切片b\) の 関連が良く分からないのですが?

 

なるほど。\(傾きa\) や\(切片b\)が変わればグラフも変わります。グラフでの関連を見てゆきましょう。

 

1次関数 \(y=ax+b\) において \(a\) は傾きといいます

 

傾き\(a\)が変わるとグラフはどのように変化するのか

左のグラフは直線で1次関数です。3つの直線は傾きを+1、+2、+3として変化させた場合をプロットしたものです。3つのグラフは関数式で表すと \(y=x+1 y=2x+1 y=3x+1\)になります。グラフの特徴は切片が+1で3つとも\(y\)軸は+1で交わっています。そして傾きが+1、+2、+3と変化するにつれてグラフの勾配は大きくなっています。

 

1次関数 \(y=ax+b\) において \(b\) は切片といいます

 

切片 \(b\) が変わるとグラフはどのように変化するのか

左のグラフは1次関数の傾きが+2と同じで、切片が+1、+3、+5と変化した場合の関数をプロットしたものです。3つのグラフは、\(y=2x+1 y=2x+3 y=3x+5\)になります。3つのグラフの特徴は傾きは+2と同じですから3つともそれぞれ平行です。切片が変わると \(y=2x+1\) は\(y\)軸と+1で交わり、\(y=2x+3 \) は\(y\)軸と+3で交わり、\(y=3x+5\) は\(y\)軸と+5で交わっています。これらの3つのグラフは一つのグラフを平行移動したと同じ関係にあります。

 

\(変数x,yと傾きa 切片b\) の関係が分かりましたか?

次は変化の割合が出てきます。

 

傾きと切片か。 わしらの時代と同じ内容だからまあ分かったとおもう。

おじいさんが習っていた時代と同じだなんて、少しは内容が違うのかしら?

 

では、変化の割合の説明に入る前に。

変化の割合の意味

傾き 左の図は1次関数 \(y=2x+1\) について赤の⇒は \(\overline {AD} =1\)のときの\(\overline {DB} =2\) ですから傾きは\(\frac{2}{1}=2\)です。青い⇒は \(y=2x+1\)  の変化の割合を表したものです。

変化の割合の意味  1次関数 \(y=2x+1\)上の適当な点Bからx軸に沿った方向に適当な長さ(この場合はEまで)を取り、こんどは点Eからy軸に沿って関数 \(y=2x+1\)に交わる点Cを取ります。このとき\(\overline {EC}: \overline {BE}=2:1\)をいいます。変化の割合は、2:1ですから\(\frac{2}{1}=2\)ですね。

まとめると、 1次関数 \(y=2x+1\)のxの係数は2、傾きは2、変化の割合は2です。1次関数で数値が一致したのは偶然ではありません。

 

 

1次関数の傾きと変化の割合の関係   1次関数 \(y=ax+b\) において、

  変化の割合 = \(\displaystyle \frac{yの変化量}{xの変化量}\) = 傾き \(a\)

 

 

問題1 次の1次関数について変化の割合を言いなさい。

(1) \(y=3x+5\)

(2) \(y=-\frac{1}{2}x-1\)

(3) \(y=-3x-2\)  ①xが1~4まで変化した場合。   ②xがー6からー2まで変化した場合。

(4) 反比例式 \(y=\frac{24}{x}\) でxが次のように変化したとき。  ①2から6まで   ②4から8まで

 

 

 

それでは問題1の回答を言います。下の解答表示をクリックすると回答が表示されます。
もう再度クリックするとまた見えなくなります。答えを伏せて勉強するときに使ってください。

 


(1) 3  (2) \(-\frac{1}{2}\)  (3) ①-3 ②-3 (4) ①-2 ② \(-\frac{3}{4}\)

 

 

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1次関数と方程式

1次関数 \(y=ax+b\) は直線のグラフになります。1次関数が二つあってグラフで2本の直線に交点がある場合は、その交点の座標は2つの1次関数を共に満たしています。1次関数を方程式とみなすなら、その交点の座標は、2元1次連立方程式の解であるということなんです。

 

先生、もうすこし分かりやすいように間単に言ってくださいませんか。

なるほど。ではグラフで説明します。

 

う~ん。今度は何か難しそうな・・・ まぁ、聞くだけ聞いておこう。

2本の一次関数の交点が意味するもの

交点の座標A、B、C、D、Eの計算方法交点A 右の連立方程式を解く。\(\displaystyle (-\frac{4}{5}, \frac{3}{5})\)

交点B \(y=\frac{1}{2}x+1\) で\(y=0\) とおき \(x\) を求めると (-2、0)

交点C \(y=\frac{1}{2}x+1\) の切片だから(0,1)

交点D   \(y=-2x-1\) で\(y=0\) とおき \(x\) を求めると\((-\frac{1}{2},0)\)

交点E \(y=-2x-1\)の切片だから(0,-1)

左のグラフは2つの一次関数の直線を表しています。グラフには座標軸との交点を含めて交点Aから交点Eまで5つあります。

交点Aは2本の直線の交点。交点B、C、D、Eはx軸、y軸と2本の直線の交点です。2本の直線の式はそれぞれ、

\(y=-2x-1(緑)・・・①\)

\(y=\frac{1}{2}x+1(赤)・・・②\)

①を次のように変形します。

\(2x + y = -1・・・③\)

同じく②を2倍して変形します。

\(x – 2y = -2・・・④\)

式③と④をこのように書き直してみましょう。

\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} 2x + y = -1・・・・③ \\ x – 2y = -2・・・・④ \end{array} \right. \end{eqnarray}

つまり2つの1次関数というのは連立方程式だったということです。その交点Aは2つの関数を同時に満足する座標ですから、連立方程式の解になるのです。

 

それからもうひとつ大事なことを言いますと。この赤と緑の直線は直角に交わっているのです。2本の直線AとBが直角に交わる条件は、直線Aの傾きを\(a\)とすると、直線Bの傾きは\(-\frac{1}{a}\)であることです。つまり2本の直線の方程式のそれぞれの傾きを掛けるとー1になります。これが直交の条件です。上の例ではー2x\(\frac{1}{2}\)=-1ですね。

 

では簡単な問題で内容を確認します。

問題1 次の条件を満たす直線の方程式を言いなさい。

(1) 傾きが ー\(\frac{1}{2}\) で切片が2。

(2) 点(2,3)を通り、傾きが \(\frac{2}{3}\)。

(3) 点(2,0)を通り、傾きが-3。

(4) 点(8,2)を通り、直線 \(y=\frac{3}{4}x+1\)に平行。

(5) 2点(0,-2), (3,0)を通る直線の変化の割合。

(6) 2点(0,-2)、 (3,0)を通る直線の傾き。

(7) 2点(-1,1)、(1,5) を通る直線の方程式。

(8) \(y=2x-1 y=-x+5\) の交点の座標を求めよ。

(9)  \(x+y=7 2x+y=10\) の交点の座標を求めよ。

(10) 直線 \(y=\frac{4}{3}x+2\) のxの変域が-2≦x≦3であるという。yの変域はいくらか。

 

それでは回答を言います。下の解答表示をクリックすると回答が表示されます。
もう再度クリックするとまた見えなくなります。答えを伏せて勉強するときに使ってください。

 


(1)\(y=-\frac{1}{2}x+2\) (2)\(y=\frac{2}{3}x+\frac{5}{3} \) (3)\(y=-3x+6\) (4)\(y=\frac{3}{4}x-4\) (5)\(\frac{2}{3}\) (6)\(\frac{2}{3}\) (7)\(y=2x+3\) (8)\((2、3)\) (9)\((3、4)\) (10) \(-\frac{2}{3}≦y≦6\)

 

 

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チャレンジ問題

難度 基礎レベル

問題1 つぎの(1)~(5)までの問に答えなさい。

(1)線分\(\overline{BC}\)の長さを求めよ。

(2)線分\(\overline{DE}\)の長さを求めよ。

(3)交点Aの座標を求めよ。

(4)原点を通ってB、Eを通る直線に垂直な直線の方程式を求めよ。

(5)△ADEの面積を求めよ。

(6)△ABCの面積を求めよ。

 

 

それでは回答を言います。下の解答表示をクリックすると回答が表示されます。
もう再度クリックするとまた見えなくなります。答えを伏せて勉強するときに使ってください。

 


問題1 (1) 4  (2) 2.5  (3) \((\frac{4}{3},\frac{5}{3})\)  (4) \(y=x\)  (5) \(\frac{25}{12}\)  (6) \(\frac{8}{3}\)

 


難度 特難

問題2  次の3つの方程式囲まれた三角形の面積を求めなさい。

$$2x+y-6=0$$

$$2x-y+2=0$$

$$2x-7y-22=0$$

 


問題2 24

 


難度 中レベル

問題3 2点  \(A(a-1, 2b) および B(2a+1, 8)\) がある。点\(A\)を左へ2、上へ4動かすと点\(B\)に重なるという。

(1) 2点\(A, B\)を通る直線の方程式を求めなさい。

(2) この直線とx軸、y軸で囲まれた三角形の面積を求めなさい。

 


問題3 (1) \(y=-2x-6\) (2) 9

 


難度 中レベル

問題4

xy座標上に2つの直線、直線1および直線2がある。それぞれの直線の方程式は次のとおりである。

$$\displaystyle y=-\frac{1}{2}x+5$$

$$y=mx + 2 (m>0)$$

(1)直線1および直線2とy軸で囲まれる△ABCの面積が6であるときmの値を求めなさい。

(2)直線1および直線2が直角に交わるとき△ABCの面積を求めなさい。

 


問題4 (1) \(m= \frac{1}{4}\) (2) \(△ABCの面積 \frac{9}{5}\)

 


 

 

 

 

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